Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, guten Morgen, fangen wir an. Wir hatten uns letztes Mal mit symmetrischen B-Linear-Formen

beschäftigt, weil wir gesehen hatten, jede B-Linear-Form, oder man kann das auch allgemeiner

formulieren, für alpha-B-Linear-Formen lässt sich zerlegen in einen symmetrischen oder

antisymmetrischen Anteil. Den antisymmetrischen, den alternierenden Anteil müssen wir uns dann

im Anschluss noch kümmern. Und zum anderen hatten wir gesehen, dass wenn wir uns nur für die

quadratische Form einer B-Linear-Form interessieren, nur der symmetrische Anteil da sozusagen ein Wort

mitredet. Der antisymmetrische ist gar nicht sichtbar und die quadratische Form wird jetzt

das abstrakte Werkzeug sein, um so eine alte geometrische Frage wie die Klassifizierung von

Quadrücken anzugehen. Das ist also das eigentliche Ziel heute, das wir gleich losgehen werden. Als

Vorbereitung dafür haben wir uns angeschaut, wie kann man durch Kongruenztransformationen

symmetrische B-Linear-Formen auf eine möglichst einfache Gestalt bringen und sind da bei diesem

Satz, mit dem wir geendet haben, herausgekommen. Wir haben gesehen, das ist letztendlich etwas,

was uns für C und R wohl bekannt ist, oder da ist uns sogar mehr bekannt. Wir haben gesehen,

dass wir eine symmetrische B-Linear-Form im Allgemeinen, wir müssen nur den Fall der

Charakteristik gleich zwei, also des endlichen Körpers mit zwei Elementen ausscheiden, dass wir

im allgemeinen Fall eine Basis finden können, die sozusagen orthogonal bezüglich der B-Linear-Form

ist, mit der Konsequenz, das dementsprechend die Gramsche Matrix, die darstellende Matrix-Diagonal-

Gestalt bekommt. Tatsächlich wissen wir unter dem Stichwort Hauptachsen-Transformation im

Reellen und Komplexen schon mehr, wir wissen, dass wir diese Transformation sogar mit unitären

Matrizen bewerkstelligen können, was jetzt hier in dem allgemeinen Beweis, den wir jetzt noch

mal für allgemeine Körper gemacht haben, nicht zum Ausdruck kommen kann. Gut, da wird jetzt noch

mal verglichen, auf der einen Seite die Konkurrenztransformation, auf der anderen Seite

die Ähnlichkeits-Transformation, die dann, wenn diese eine unitäre ist, dann zusammenkommen,

das haben wir schon mehrfach diskutiert. Und jetzt ein weiterer Schritt sozusagen zu einer

Standardform, wie kann man diese Diagonalmatrix zumindest in dem Fall des reellen bzw. komplexen

Skalankörpers noch weiter vereinfachen. In beiden Fällen wissen wir, dass die Diagonal-Einträge

reelle Zahlen sind, auch wenn wir den Körper C zugrunde legen. Das heißt, wir können die

erst einmal ordnen, der Größennacht oder wie auch immer wir sie ordnen wollen. Wir können sie auch

so ordnen, dass wir erst die Positiven anfügen, vielleicht der Größennacht geordnet, dann die

Negativen und dann die Werte 0. Das passiert alles mit Permutationsmatrizen. Das heißt also,

wenn wir vorher schon mit einer unitären Transformation auf diese Diagonalgestalt

gekommen sind, dann tut sich da nichts mehr. Also das verschlechtert sich nicht, das bleibt

weiterhin eine unitäre Transformation. Und jetzt stehen aber hier nicht positive Zahlen und nicht

negative Zahlen, sondern steht 1 und minus 1. Das bedeutet natürlich schon der Matrix etwas Gewalt

antun, das heißt, die ganzen Längeninformationen, die jetzt in diesen Eigenwerten, was wir auch schon

allgemein in den Singulärwerten gesehen haben, kodiert ist, die wieder zu vergessen und alle

Längen sozusagen, alle Koordinatenlängen so zurechtzuschieben, dass hier eben bei den positiven

Werten nur 1 stehen und bei den negativen Werten nur minus 1. Auch das ist durch eine Konkurrenz-

Transformation zu machen. Man nehme einfach von links und rechts Diagonalmatrizen, die eben hier

die Wurzeln der betreffenden Zahlen und hierfür die Wurzeln der betreffenden negativen dieser Zahlen

beinhalten und dann bzw. eben gerade 1 durch davon und durch die Multiplikation erzeugen wir dann

hier die 1 und hier die minus 1. Nur dieser Transformationsschritt ist kein unitärer Schritt

natürlich mehr. Also da wird das kaputt gemacht. Also wir werden später unterscheiden, ob wir eine

affine Normalform von Quadrücken haben wollen, wo wir sozusagen alles zulassen, Affinitäten als

Transformation oder wir euglidische Normalform haben wollen, wo wir nur Bewegungen, also auf

orthogonale Transformationen aufbauende Affinitäten zulassen wollen und da macht sich dann dieser

Unterschied bemerkbar. Wenn wir alles affin machen, dann kann jede Ellipse zu einem Kreis

zusammengeschoben werden, natürlich durch entsprechende Skalierung der Achsen. Wenn wir

das nicht zulassen, bleibt eine Ellipse eben eine Ellipse mit ihren beiden wesentlichen Kennzahlen